S19 2020年IMO金牌得主陈锐韬的学习经验谈

这是2021年imo金牌得主陈锐韬同学应邀写的学习心得：）

写作态度很端正，大家可以好好借鉴一下：）

以下正文:(红色部分为我的补充)

一、灰劫昆明红豆在，相思廿载待今酬

我离开数学竞赛已约半载，终于期末考试结束，得暇写下这篇文章，聊表拙见，谈谈我学习数学竞赛的心得。当然，因为大家对数学竞赛的体会不同，观点亦有差距，此篇文章只是介绍我粗浅的观点而已。

二、形而上者谓之道，形而下者谓之器

在数学竞赛的学习中，有三个层次是需要体会和学习的。一是知识方法，常用的知识方法应当熟练掌握，以便很快地完成证明。二是解题思路，即解决题目的路线、方向，找到思路后，往往落实证明并不困难。倘止乎此，就还差解决思维难度高的题目的重要一环，即数学思想，为什么能找到这个方向，为什么应尝试这个方向，例如几何中化简图形的思想，便是在解决几乎所有题目时均有用处的。(数学思想是三部分中最重要的,更通用更万能,我们学习做题是为了解决广阔范围内的大量问题,在做题中提炼问题的共性,领悟各方法的优劣势要比就题论题重要得多.)

因此，在学习时需要认真思考，获得思想之提升。在我讲课时发现，一个题目讲五分钟可以讲完，因为它的核心思想归纳后必然只有几句话（仅限数学竞赛题）。一个题目讲三个小时也是可以的，比如我认为我出的最好的题目（供新星征解第四十三期），就是我从北京思考到上海，前后花费不小于五十小时构思完成的。因为出题需要很多失败的试探，取得关键突破后，形成题目给出解答也就不过一个小时，当然最精华的是五十小时的过程，而呈现出来的只能是一个小时的题目和证明。(所以,不要读那种纯粹罗列解答的书,尤其是明明计算了两页确定系数313/717,证明只写一句显然看出结论的破书.)

以下将会以数学与文学同时为例，介绍一些琐碎但重要的内容。

（1）学习知识需要深入思考。在如今快节奏的社会，静心品味实是难上加难。但许多知识如不加思考，就无法领会其真正精髓。例如有些题目间看似没有关系，实则思想想通，可以据此找到解题方向。例如加强数学归纳法（这是非常精彩的方法）的应用，亦有一些规律可循，只是需要深入体会，参见拙作《从2021年高联第四题看加强数学归纳法》（发表在数学新星网）。再例如读《红楼梦》时如果不深入，或者习惯从互联网上寻找答案，就会认为多愁善感是林黛玉的主要性格特点，但深入阅读会发现这明显是对“眼泪还债”（脂批“千古未闻之奇文”）的误读，所以脂批说“知眼泪还债大都作者一人耳”，一般人都容易误入浅尝辄止的歧途。

(咦,我觉得多愁善感确实是主要性格特征啊,当然寄人篱下以及贾家脚踩两条船吃绝户也是很重要的因素? 下次探讨一下.)

（2）学习需要严谨性和批判思想。思维的严谨性很重要，在思考和叙述证明过程时要尽可能严谨。我学习数学竞赛时学到了全国不同名师的思想，最后再批判地转化、重塑为我的思想体系和思维方式，这对我的帮助很大。有的习以为常的知识也并不一定是对的，比如对一些古人的名字的读音，可以从古代文学对音律的要求中寻找证据，会发现平时的读音可能是错误的，例如著名的司马相（xiāng香）如，边塞诗人岑参（cān餐）。

（3）我认为学习不同科目之间并无矛盾，真正的知识和方法应当是相通的，而学习各个学科必是相辅相成的。形而上者谓之道，形而下者谓之器。核心在道。

三、隐隐歌声归棹远，离愁引著江南岸

若说学数学竞赛的精髓，我认为在学习动力和学习方法。如果当你在学习时，你的内心有坚定的声音说：我努力学习是高尚的、是正确的，我最后必能有成就，那么你就有了学习的动力，再加上正确的方法，学好任何学科都是容易的。

如果问如何培养一个学生，如果这个学生完全领会到了某位竞赛高手的思维方式，那么拿到全国金牌还是比较容易的。但这是一个理想状态，却完全有可能，它需要动力、默契、敬畏和时间。而如果期待几天就如何如何，那和诈骗的话术就颇为相似了。

(学习数学竞赛属于需要极大的创造力和主动性的工作,没有强大的源动力难以做好.)

以上，有许多内容看似毫无用处，又有些东拉西扯，它们只是我写到那里，有感而发。毕竟真正深入的体会绝非一千三百余字便可道出的，本文不当之处在所难免，希望对大家有所启发。